αν f'(x)=f(x) τότε f(x)=e^{x}

Απόδειξη.

Δίνεται f'(x)=f(x) (1)

Θεωρώ τη συνάρτηση g(x)=f(x)e^{-x}.

H e^{-x} είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση των παραγωγίσιμων -x και e^{x}.

H g ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων f και e^{-x} θα είναι παραγωγίσιμη με

g'(x)=f'(x)e^{-x}+f(x)[-e^{-x}]=f(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}   [λόγω της σχέσης (1)]

=0.

Άρα η g είναι σταθερή συνάρτηση. Δηλαδή υπάρχει πραγματικός αριθμός c τέτοιος ώστε

g(x)=c, δηλαδή f(x)e^{-x}=c, δηλαδή f(x)=ce^{x}.

Posted in exercises | Leave a comment

γρίφος με εκατό καπέλα

Ένας φρουρός λέει στους 100 κρατούμενους ότι θα παίξουν το ακόλουθο παιχνίδι. Ο φρουρός θα τους βάλει σε μια γραμμή, έτσι ώστε όλοι να βλέπουν μπροστά στη γραμμή. Ο φρουρός θα τους φορέσει από ένα καπέλο είτε άσπρο είτε μαύρο, με τυχαία σειρά. Κάθε κρατούμενος μπορεί να δει τα καπέλα όσων είναι μπροστά του, αλλά δεν μπορεί να δει το δικό του ή αυτών που βρίσκονται πίσω από αυτόν. Θα τους ρωτήσει τι χρώμα καπέλο έχουν. Αν ο κρατούμενος απαντήσει σωστά, θα ελευθερωθεί, αλλιώς θα παραμείνει στη φυλακή. Ο φρουρός θα ξεκινήσει από αυτόν που είναι τελευταίος στη γραμμή, και θα συνεχίζει μπροστά ώσπου να ερωτηθούν και οι 100 κρατούμενοι. Πριν ξεκινήσει το παιχνίδι, τους επιτρέπει να σκεφτούν κάποια στρατηγική. Όταν όμως ξεκινήσει το παιχνίδι, οι κρατούμενοι δεν μπορούν να επικοινωνούν εκτός από το να απαντήσουν στον φρουρό «άσπρο» ή «μαύρο». Δεν μπορούν να χρησιμοποιήσουν ένταση, παύσεις ή τονισμό στις απαντήσεις τους για να επικοινωνήσουν, γιατί ο φρουρός θα τα καταλάβει αυτά τα τρικ. Πρέπει να επινοήσετε μια στρατηγική ώστε το πολύ ένας κρατούμενος να παραμείνει στη φυλακή και τουλάχιστον 99 να ελευθερωθούν.

Posted in fun | Tagged , | Leave a comment

εξίσωση για καλή χρονιά

happy new year εξίσωση

Image | Posted on by | Tagged , | Leave a comment

εξίσωση για καλά Χριστούγεννα

merry x mas

Image | Posted on by | Tagged , | Leave a comment

γρίφος με περίεργο νόμισμα

Δυο τύποι βρίσκουν ένα παλιό χρυσό νόμισμα και σκέφτονται να το παίξουν κορώνα-γράμματα για να δουν ποιός θα το κερδίσει. Το μόνο τους πρόβλημα είναι ότι η μια πλευρά του νομίσματος είναι βαρύτερη από την άλλη, με αποτέλεσμα να έρχεται πιο πολλές φορές κορώνα παρά γράμματα. Ποιος θα ήταν ένας δίκαιος τρόπος για να ρίξουν το κέρμα και να αποφασίσουν ποιός θα το πάρει;

Posted in fun | Tagged , | Leave a comment

γρίφος με απατημένα ζευγάρια

Σε ένα συγκρότημα πολυκατοικιών στη Νέα Υόρκη υπάρχουν εκατό παντρεμένα ζευγάρια. Όταν ένας από τους συζύγους απατήσει τη γυναίκα του με κάποια άλλη από τις συζύγους, η γυναίκα του δεν έχει ιδέα. Λόγω του μεγάλου κουτσομπολιού στο συγκρότημα, όλες οι υπόλοιπες σύζυγοι γνωρίζουν ότι απατάει. Αν μια σύζυγος μάθει ότι ο σύζυγός της την απατάει, τον σκοτώνει το επόμενο πρωί. Κάποιος στέλνει ανώνυμα email σε όλες τις συζύγους στα κτίρια και λέει ότι τουλάχιστον 1 άντρας απατάει τη γυναίκα του στο συγκρότημα.

Πόσοι άντρες θα σκοτωθούν και σε τι χρονικό διάστημα;

Posted in fun | Tagged , | Leave a comment

γρίφος του Einstein

Σε ένα δρόμο υπάρχουν πέντε σπίτια, πέντε διαφορετικών χρωμάτων.

Σε κάθε σπίτι ζει ένας άνθρωπος διαφορετικής εθνικότητας.

Οι πέντε ιδιοκτήτες:

  • πίνουν ένα συγκεκριμένο είδος ποτού
  • καπνίζουν μία συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων και
  • έχουν ένα συγκεκριμένο κατοικίδιο.

Όλοι έχουν μεταξύ τους διαφορετικά κατοικίδια, διαφορετικές μάρκες τσιγάρων και διαφορετικά είδη ποτών.

Υποδείξεις:

1. Ο Βρετανός μένει στο κόκκινο σπίτι.

2. Ο Σουηδός έχει ένα σκύλο.

3. Ο Δανός πίνει τσάι.

4. Το πράσινο σπίτι είναι αριστερά από το άσπρο σπίτι.

5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ.

6. Αυτός που καπνίζει Pall Mall τσιγάρα εκτρέφει πουλιά.

7. Ο ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill.

8. Αυτός που μένει στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα.

9. Ο Νορβηγός μένει στο 1ο σπίτι.

10. Αυτός που καπνίζει Blends μενει δίπλα σε αυτόν που έχει γάτες.

11. Αυτός που έχει το άλογο μένει δίπλα σε αυτόν που καπνίζει Dunhill.

12. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει Blue Master πίνει μπύρα.

13. Ο Γερμανός καπνίζει Prince.

14. Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι.

15. Αυτός που καπνίζει Blends εχει ένα γείτονα που πίνει νερό.

Η ερώτηση είναι: Ποιος έχει το ψάρι;

Posted in fun | Tagged , | Leave a comment